Question

已知向量=（1，1），向量与的夹角为，且•=-1．
（1）求：向量；
（2）若与=（1，0）的夹角为，而向量，试求f（x）=；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac且b所对的角为x，求此时（2）中的f（x）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出向量=（x，y），利用向量与的夹角为，且•=-1．得到 x+y=-1与 x²+y²=1，解方程求出x，y即可．
（2）利用（1）以及与=（1，0）的夹角为，判断=（0，-1），表示，然后利用向量的模的求法求出
f（x）=．
（3）通过余弦定理以及b²=ac，求出1≥cosx，通过函数的单调性求出f（x）的值域即可．
解答：解：（1）设向量=（x，y）
∵•=-1，•=|a|||cosΘ=1×x+1×y=x+y
∴x+y=-1…①
∵||||cos=-||||=-||=-||
∴||=1
∴x²+y²=1…②
①代入②得：
x²+（-x-1）²=1
可得 2x²+2x=0
x（x+1）=0，
∴x_₁=0，x₂=-1
   y_₁=-1，y₂=0
∴=（0，-1），或 =（-1，0）
（2）因为与=（1，0）的夹角为，所以=（0，-1），
因为向量，
=，
所以f（x）===
（3）因为△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac且b所对的角为x，
所以b²=a²+c²-2accosx，
∴ac=a²+c²-2accosx，ac+2accosx≥2ac，解得1≥cosx，
f（x）=，1≥cosx，
因为f（x）==在1≥cosx上是减函数，
所以f（x）∈[0，]
点评：本题是中档题，考查向量的数量积的两种计算方法的应用，向量的模的求法，余弦定理以及二次函数的最值的求法，难度比较大的综合题．