Question

10．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，则△ABC的面积的最大值为12．

Answer 1

分析 设A、B、C所对边分别为a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=36②，联立①②可得b²+c²=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=7，|$\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}$|=6，得bccosA=7，a=6①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}bc\sqrt{1-\frac{49}{{b}^{2}{c}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-49}$．
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=36②，
由①②消掉cosA得b²+c²=50，所以b²+c²≥2bc，
所以bc≤25，当且仅当b=c=5时取等号，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{（bc）^{2}-49}$≤12，
故△ABC的面积的最大值为12，
故答案为：12．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，综合性较强，属于难题．