Question

已知函数f（x）=7sinxcosx+7sin²x-，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（）=1+4，f（）=2，求sin（）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为7sin（2x-）+1，令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出增区间，由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出减区间．
（Ⅱ）由 f（）=1+4，求得cosa=．由f（）=2，求得sina=-．可得a为第三象限角，故 是第二或第四象限角．分类求出cos 和sin的值，利用两角差的正弦公式求出sin（）的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：函数f（x）=7sinxcosx+7sin²x-=sin2x+7×- 
=7（sin2x-cos2x）+1=7sin（2x-）+1．
令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+≤x≤kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（）=1+4，
∴7sin[2（-）-]+1=7sin（a-）+1=-7cosa+1=1+4，
∴cosa=．
∵f（）=2，∴7sin[2（）-]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-．
故a为第三象限角，且 2kπ+π＜a＜2kπ+，k∈z，故 kπ+＜＜kπ+，k∈z．
故 是第二或第四象限角．
当 是第二象限角时，sin ===，
cos =-=-=-． 
sin（）=sin  cos-cossin=×-（ ）×=．
当 是第四象限角时，sin =-=-=-，
cos ===． 
sin（）=sin  cos-cossin=-×-×=．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调区间的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．