Question

已知抛物线C: 的焦点为F，ABQ的三个顶点都在抛物线C上，点M为AB的中点，.（1）若M，求抛物线C方程；（2）若的常数，试求线段长的最大值.

Answer 1

（1），（2）.

解析试题分析：（1）本小题中设，又，而转化为坐标关系，从而可求出Q点坐标（含P），又Q点在抛物线上，所以代入Q点坐标可求得P；（2）本小题中可设直线AB的方程为及，，，联立消y，得到关于x的一元二次方程（其中可得m的取值范围），而，则根据韦达定理，可写出关于m的函数关系，从而求出其最大值.
试题解析：（1）由题意，设，因为M，。所以，代人得p=2或p=-1．由题意M在抛物线内部，所以，故抛物线C: .
（2）设直线AB的方程为，点，，.由得，于是，，所以AB中点M的坐标为，由，得，所以，由得，由，得，又因为=2=2=，记，易得=，所以=.
考点：抛物线的标准方程及焦点坐标公式，向量的坐标运算，直线与抛物线相交问题，设而不解思想，韦达定理，弦长公式，函数与方程思想，函数的最值.