题目内容
已知
=(
sinx，cosx），
=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）当x∈[
，
]时，
•
+
=
，求cos2x；
（Ⅱ）当[
，
)时，关于x的方程
•
+
=m有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
| a |
| 3 |
| b |
（Ⅰ）当x∈[
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）当[
| 5π |
| 12 |
| 13π |
| 12 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）通过
•
+
=
，化简得到表达式，x∈[
，
]，推出2x-
∈[
，π]，利用cos2x=cos[（2x-
）+
]求解即可；
（Ⅱ）利用x∈[
，
)时，推出sin(2x-
)∈[-1，
]，关于x的方程
•
+
=m有且只有一个实根，就是函数图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）利用x∈[
| 5π |
| 12 |
| 13π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵x∈[
，
]，∴2x-
∈[
，π]，
•
+
=
，即
sinxcosx-cos2x+
=
∴cos(2x-
)=-
∴cos2x=cos[(2x-
)+
]=-
（Ⅱ）当x∈[
，
)时，2x-
∈[
，2π)，∴sin(2x-
)∈[-1，
]
•
+
=m有且只有一个实根，令X=2x-
，在坐标系中画出y=sinX的图象与y=m的图象，图象只有一个交点，
由图可得：m=-1或0≤m≤
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴cos(2x-
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
4+3
| ||
| 10 |
（Ⅱ）当x∈[
| 5π |
| 12 |
| 13π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
由图可得：m=-1或0≤m≤
| ||
| 2 |
点评：本题是中档题，考查三角函数值的求法，平面向量的数量积的应用，数形结合求出函数的图象的交点与方程的根的关系，考查计算能力．
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