题目内容

已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
分析：（1）f（x）=
a
×
b
=（
3
sinx，m+cosx）×（cosx，-m+cosx）=
3
sinxcosx+cos2x-m2．
（2）函数f（x）=sin(2x+
π
6
)+
1
2
-m2，根据x∈[-
π
6
，
π
3
]，求得 2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，得到 sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，从而得到函数f（x）的最大值 及相应的x的值．
解答：解：（1）f（x）=
a
×
b
=（
3
sinx，m+cosx）×（cosx，-m+cosx），即f(x)=
3
sinxcosx+cos2x-m2．
（2）f(x)=
3
sin2x
2
+
1+cos2x
2
-m2=sin(2x+
π
6
)+
1
2
-m2，由x∈[-
π
6
，
π
3
]，
∴2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，∴sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]，∴-
1
2
+
1
2
-m2=-4，
∴m=±2，∴f(x)max=1+
1
2
-2=-
1
2
，此时 2x+
π
6
=
π
2
，x=
π
6
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，三角函数性质及简单的三角变换，根据三角函数的值求角，化简函数f（x）的解析式，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）设f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及单调减区间．
已知
a
=(
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）当x∈[
π
3
，
7π
12
]时，
a
•
b
+
1
2
=
4
5
，求cos2x；
（Ⅱ）当[
5π
12
，
13π
12
)时，关于x的方程
a
•
b
+
1
2
=m有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）设f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及单调减区间．
已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

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