题目内容

已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）设f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及单调减区间．
分析：（1）写出两个向量数量积的坐标表示，通过三角恒等变形为y=Asin（ωx+φ）的形式，使其等于1，根据所给自变量的范围求出结果．
（2）写出两个向量数量积的坐标表示，通过三角恒等变形为y=Asin（ωx+φ）的形式，用周期公式得到周期，根据正弦函数的单调减区间得出要求函数式的减区间．
解答：解：（1）∵
a
•
b
=1，
∴
3
sinx•cosx+cos2x=1，
即
3
2
sin2x+
1
2
cos2x=
1
2
，
∴sin(2x+
π
6
)=
1
2
．
∵-
π
4
≤x≤
π
4
，∴-
π
3
≤2x+
π
6
≤
2π
3
，
∴2x+
π
6
=
π
6
，
∴x=0．
（2）∵f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
，
∴T=
2π
2
=π．
∵f（x）=sinx的单调减区间为[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]（k∈Z）
∴2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，
∴kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，
∴原函数单调减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）．
点评：本题以向量为载体，通过向量坐标形式的数量积运算，得到三角函数式，通过三角恒等变形，进行三角函数有关性质的运算，这种结合在高考题中经常出现，一定要引起重视．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
已知
a
=(
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，-cosx）．
（Ⅰ）当x∈[
π
3
，
7π
12
]时，
a
•
b
+
1
2
=
4
5
，求cos2x；
（Ⅱ）当[
5π
12
，
13π
12
)时，关于x的方程
a
•
b
+
1
2
=m有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
已知
a
=(
3
sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)
（1）若
a
•
b
=1，且x∈[-
π
4
，
π
4
]，求x的值；
（2）设f(x)=
a
•
b
，求f（x）的周期及单调减区间．
已知
a
=(
3
sinx， m+cosx)，
b
=(cosx，-m+cosx)，且f（x）=
a
×
b

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

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