题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinθ，cosθ-2sinθ）， $数学公式$ =（1，2）
（1）若 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，求tanθ的值；
（2）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，且θ为第Ⅲ象限角，求sinθ和cosθ的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（sinθ，cosθ-2sinθ）， $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =sinθ+2cosθ-4sinθ=0，解得tanθ= $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ =（sinθ，cosθ-2sinθ）， $\text{[math]}$ =（1，2），
∴2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，化简可得tanθ= $\text{[math]}$ ．
再由θ为第Ⅲ象限角以及sin²θ+cos²θ=1，
解得sinθ=- $\text{[math]}$ ，cosθ=- $\text{[math]}$ ． …（6分）
分析：（1）根据两个向量垂直的性质可得 $\text{[math]}$ =sinθ+2cosθ-4sinθ=0，由此解得tanθ的值．
（2）根据两个向量共线的性质可得2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，由此求得tanθ的值，再由sin²θ+cos²θ=1，
以及θ为第Ⅲ象限角求得sinθ和cosθ的值．
点评：本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题．