Question

如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，

（1）求证：；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

(1)证明见解析；(2)．

试题分析：(1)要证线线垂直，一般通过证明线面垂直来实现，那么我们就要寻找图形中已有哪些与待证线垂直的直线，本题中首先由已知有，又有平面，则，故可证明与过的平面垂直，从而得线线垂直；(2)要求二面角的大小，一般须根据定义作出二面角的平面角，在三角形中解出，而平面角就是要与二面角的棱垂直的直线(射线)，题中棱是，在两个面(半平面)内与垂直的直线是哪个呢？注意到已知，因此有，从而与都是以为底边的等腰三角形，故垂直关系就是取底边中点，根据等腰三角形的性质有，，就是我们要找的平面角．
试题解析：（1）连接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD         4分
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC ⊥平面SBD
∴AC⊥SB.         6分

（2）设的中点为，连接、，
∵SD=AD,CS=CA,
∴DE⊥SA, CE⊥SA.
∴是二面角的平面角.     9分
计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小为 .   12分