题目内容

己知向量 $数学公式$ =（1，2）， $数学公式$ =（-2，m）， $数学公式$ = $数学公式$ +（t²+1） $数学公式$ ， $数学公式$ =-k $数学公式$ + $数学公式$ $数学公式$ ，m∈R，kt为正实数．
（1）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求m的值；
（2）当m=1时，若 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，求k的最小值．

解：（1）根据题意， $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ =（-2，m），
若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则有1×m=2×（-2），
解可得，m=-4；
（2）若m=1，有 $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ =（-2，1），易得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（t²+1） $\text{[math]}$ =（-1-2t²，3+t²），y=-k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（-k- $\text{[math]}$ ，-2k+ $\text{[math]}$ ），
若 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =[ $\text{[math]}$ +（t²+1） $\text{[math]}$ ]•（-k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=-k $\text{[math]}$ ²+（t+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ²=5[（t+ $\text{[math]}$ ）-k]=0，
即k=t+ $\text{[math]}$ ，
又由t＞0，则k≥2 $\text{[math]}$ =2，（当且仅当t=1时等号成立）；
故k的最小值为2．
分析：（1）根据题意，结合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，由向量平行的坐标判断方法，可得1×m=2×（-2），解可得答案；
（2）根据题意，可得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，分析可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，由向量垂直与数量积的关系，可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =[ $\text{[math]}$ +（t²+1） $\text{[math]}$ ]•（-k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =0，对其变形整理可得k=t+ $\text{[math]}$ ，由基本不等式的关系，计算可得答案．
点评：本题考查向量平行、垂直的坐标判断以及基本不等式的应用，对于（2），要注意 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，分析得到 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，结合数量积的运算，化简 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．