题目内容

己知向量
a
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，
b
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求此时函数f（x）的值域．
分析：（1）根据函数f(x)=
a
•
b
进而利用两角和公式化简整理求得f（x）=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
进而根据正弦函数的周期性求得最小正周期．进而根据正弦函数的单调性求得其单调减区间．
（2）把b2=ac代入余弦定理求得cosx的值，进而根据x的范围求得sin(
2x
3
+
π
3
)的范围，进而确定函数的最大和最小值，求得函数的值域．
解答：解：（1）f(x)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
(1+cos
2x
3
 )
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2

T=
2π
2
3
=3π
令
π
2
+2kπ≤
2x
3
+
π
3
≤
3π
2
+2kπ
∴
π
4
+3kπ≤x≤
7π
4
+3kπ
单调原函数的减区间为[
π
4
+3kπ，
7π
4
+3kπ]k∈z

（2）由已知b2=ac
cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2

∴
1
2
≤cosx＜1，0＜x≤
π
3
，
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9

∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，
∴sin
π
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1≤1，
∴
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
≤1+
3
2
．
即f（x）的值域为(
3
，1+
3
2
]．
点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，周期性和值域问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
己知向量
a
=（2，1），
b
=（-3，4），则
a
-
b
=（　　）
A、（5，-3）
B、（1，-3）
C、（5，3）
D、（-5，3）
己知向量a=(2sin
x
2
，1-
2
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，1+
2
cos
x
2
)，函数f(x)=log
1
2
（a•b）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
己知向量
a
=(1，1)，2
a
+
b
=(4，2)则向量
.
a
 •
b
的夹角为（　　）
己知向量
a
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，
b
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求此时函数f（x）的值域．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网