Question

（1）若动点P到定点的距离与到定直线的距离之比为，求证：动点P的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中椭圆短轴的上顶点为A，试找出一个以点A为直角顶点的等腰直角△ABC，并使得B、C两点也在椭圆上，并求出△ABC的面积；
（3）对于椭圆（常数a＞1），设椭圆短轴的上顶点为A，试问：以点A为直角顶点，且B、C两点也在椭圆上的等腰直角△ABC有几个？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设动点P坐标，利用条件，建立等式，化简可判断动点P的轨迹；
（2）根据条件可知，AB，AC应是关于y轴对称，将直线方程与椭圆方程联立，从而可求AC长，故可求面积；
（3）与（2）同法，将直线方程与椭圆方程联立，求AB，AC的长，利用|AB|=|AC|可判断．
解答：解：（1）由题意，设动点P（x，y），则，化简得，
∴动点P的轨迹是椭圆（4分）
（2）A（0，1），设AB：y=x+1，AC：y=-x+1，则△ABC是等腰直角三角形
由得，5x²+9x=0∴∴---------（10分）
（3）不妨设l_AB：y=kx+1（k＞0），
由得，（1+a²k²）x²+2ka²x=0∴
同理可得
由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0
所以当时，存在三个等腰直角三角形；
当时，存在一个等腰直角三角形．-------------------------------------（16分）
点评：本题主要考查轨迹与轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．