Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）判断直线AB是否恒过定点C；若是，求定点C的坐标．若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），从而得到c=1，再由能求出椭圆Ω的方程．
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），则切线方程分别为，，由此推导出直线AB的方程是x+=1，由此能够推导出直线恒过定点C（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵，∴a=2，b==，
∴所求的椭圆Ω的方程为．
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为，，
∵两切线均过M，即，，
即点A，B的坐标都适合方程x+=1，
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．