题目内容
在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S=| 1 |
| 1+tanA |
| 1 |
| 1+tanB |
（1）S＜1；
（2）S＜
| tanA |
| 1+tanA |
| tanB |
| 1+tanB |
分析：（1）先把s的解析式通分整理，利用A，B的范围确定tanA•tanB＞1，进而得出分子小于分母，证明原式．
（2）可先看
+
-S通分整理后利用（1）中的结论判断出结果大于0进而证明原式．
（2）可先看
| tanA |
| 1+tanA |
| tanB |
| 1+tanB |
解答：证明：（1）∵S=
=
又A+B＞90°，
∴90°＞A＞90°-B＞0
∴tanA＞tan（90°-B）=cotB＞0
∴tanA•tanB＞1，
∴S＜1
（2）
+
-S
=
-
=
＞0
∴S＜
+
成立．
| 1+tanA+1+tanB |
| (1+tanA)(1+tanB) |
=
| 1+tanA+tanB+1 |
| 1+tanA+tanB+tanAtanB |
又A+B＞90°，
∴90°＞A＞90°-B＞0
∴tanA＞tan（90°-B）=cotB＞0
∴tanA•tanB＞1，
∴S＜1
（2）
| tanA |
| 1+tanA |
| tanB |
| 1+tanB |
=
| tanA+tanA•tanB+tanB+tanA•tanB |
| (1+tanA)(1+tanB) |
| 1+tanA+tanB+1 |
| (1+tanA)(1+tanB) |
=
| 2(tanA•tanB-1) |
| (1+tanA)(1+tanB) |
∴S＜
| tanA |
| 1+tanA |
| tanB |
| 1+tanB |
点评：本题主要考查了三角函数的最值问题．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
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