Question

【题目】命题：指数函数是减函数；命题：，使关于的方程有实数解，其中.

(1)当时，若为真命题，求的取值范围；

(2)当时，若且为假命题，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）当时，根据指数函数的单调性，即可求得实数的取值范围为.

(2)当时，根据指数函数的性质和一元二次方程的性质，分别求得命题为真命题时，实数的取值范围，进而分类讨论，得到且为假命题时，实数的取值范围。

（1）当时，指数函数化为

因为指数函数是减函数，所以

即

所以实数的取值范围为.

(2)当时，指数函数化为

若命题为真命题，则，即

所以为假命题时的取值范围是或

命题为真命题时，即关于的方程有实数解，

所以，解得，

所以命题为假命题时的取值范围为

因为且为假命题，所以为假命题或者为假命题

所以实数满足或或，即或

所以实数的取值范围为