题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
，
，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接转化为证明
平面
. （2）第（Ⅱ）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析：（Ⅰ）如图，取
的中点
，连结
，
.
因为
为正三角形，所以
；
因为
，所以
.
又
，，
平面，
所以平面.
因为
平面，所以
.
（Ⅱ）解法一：过点
作的垂线，垂足为
，连结
.
因为平面，
平面，所以平面
平面，又平面
平面
，
平面，故
平面.所以直线与平面所成角为
.
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，所以
.
所以
，
.又
，
故
，即直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：如图，以原点，以
，
为
，
轴建立空间直角坐标系.
可求得
，则
，
，
，
.
平面的一个法向量为
，
.
设直线与平面所成角为
，则
.
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