Question

（2011•上海）已知抛物线F：y²=4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k_AB，k_BC，k_CA，若A的坐标在原点，求k_AB-k_BC+k_CA的值；
（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算k_AB-k_BC+k_CA的值即可；
（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k-1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；

解答：解：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x12=4y1，x22=4y2，
∴k_AB-k_BC+k_CA=

y1

x1

-

y2-y1

x2-x1

+

y2

x2

=

1

4

x1-

1

4

(x1+x2)+

1

4

x2=0；
（2）①研究△PBC，
k_PB-k_BC+k_CP=

yB-yP

xB-xP

-

yC-yB

xC-xB

+

yP-yC

xP-xC

=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xP

4

=

xP

2

=1；
②研究四边形PBCD，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DP=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xD

4

-

xD+xP

4

=0；
③研究五边形PBCDE，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DE+k_EP=

xP+xB

4

-

xB+xC

4

+

xC+xD

4

-

xD+xE

4

+

xE+xP

4

=

xP

2

=1；
④研究n=2k边形P₁P₂…P_2k（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+(-1)2k-1kP2kP1=0，
证明：左边=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1

1

4

(xP2k +xP1)=

xP1

4

[1+(-1)2k-1]=

1+(-1)2k-1

2

=0=右边；
⑤研究n=2k-1边形P₁P₂…P_2k-1（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）^2k-2kP2k-1P1=1，
证明：左边=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-1

1

4

(xP2k-1+xP1)=

xP1

4

[1+(-1)2k-1-1]=

1+(-1)2k-1-1

2

=1=右边；
⑥研究n边形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），其中P₁=P，
有kP1P2-kP2P3+kP3P4-…+（-1）^n-1kPnP1=

1+(-1)n-1

2

，
证明：左边=

1

4

(xP1+xP2)-

1

4

(xP2+xP3)+…+（-1）^n-1

1

4

(xPn+xP1)=

xP1

4

[1+（-1）^n-1]=

1+(-1)n-1

2

=右边．

点评：本题考查直线斜率、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生逻辑推理能力及探究问题解决问题的能力．