Question

【题目】己知函数.

（1)若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：

(2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (0，)；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，利用函数f（x）有两个极值点，说明导函数有两个解，即有两个不等的实数根，令，则，求得的极大值，可求得m的取值范围．

（2）根据g(x) =(x-e)(lnx-mx)，得到x=e是其零点．又结合（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，得到g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e，进行的换元，则t∈．由，解得 构造，t∈，利用导函数转化求解即可．

（1）由题意得，x>0．

由题知=0有两个不等的实数根，

即有两个不等的实数根．令，则．

由>0，解得，故在(0，e)上单调递增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；

故在x=e处取得极大值，且，

结合图形可得.

∴当函数f(x)有两个极值点时，实数m的取值范围是(0，)．

（2）因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，

显然x=e是其零点．

由（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．

令，则t∈．

则由 解得

故，t∈．

令，则．

令，则．

所以在区间上单调递增，即>．所以，即在区间上单调递增，即≤=，所以，即x1x3≤.

所以x1x3的最大值为．