已知数列{an}对于任意p.q∈N*.都有ap+aq=ap+q.且a1=2．(1)求an的表达式,(2)将数列{an}依次按1项.2项.3项.4项循环地分为(a1).(a2.a3).(a4.a5.a6).(a7.a8.a9.a10),(a11).(a12.a13).(a14.a15.a16).(a17.a18.a19.a20),(a21).-.分别计算各个括号内各数之和.设由这些和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列{

an-1

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An

an+1

＜a-

对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析：（1）由对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2，知a_n=2n．
（2）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由此能求出b₅+b₁₀₀的值．
（3）因为

an-1

=1-

，故An=(1-

)(1-

)••(1-

)，所以An

an+1

=(1-

)(1-

)••(1-

)

2n+1

．故An

an+1

＜a-

对一切n∈N^*都成立，由此能求出使得所给不等式对一切n∈N^*都成立的实数a取值范围．

解答：解：（1）∵对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2，
∴a₂=2a₁=4，a₃=2+4=6，a₄=2+6=8，…，a_n=2n；（4分）
（2）因为a_n=2n（n∈N^*），
所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
（42），．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．（6分）
由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、
所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．（8分）
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，（6分）
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010．（10分）
（3）因为

an-1

=1-

，故An=(1-

)(1-

)••(1-

)，
所以An

an+1

=(1-

)(1-

)••(1-

)

2n+1