Question

【题目】已知直线过点，圆：.

（1）当直线与圆相切时，求直线的一般方程；

（2）若直线与圆相交，且弦长为，求直线的一般方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）；

【解析】

（1）把圆的一般式化为标准方程，讨论直线斜率存在或不存在时是否与圆相切的情况。当不存在时，可直接判断相切；当斜率存在时，利用点斜式表示出直线方程，结合点到直线的距离即可求得斜率k，进而得到直线方程。

（2）根据弦长与半径，求得圆心到直线的距离；利用点斜式设出直线方程，根据点到直线距离即可求得斜率k，进而得到直线方程。

解：（1）将圆的一般方程化为标准方程得，

所以圆的圆心为，半径为1，

因为直线过点，所以当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，

此时直线的方程为；

当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，

化为一般式为。

因为直线与圆相切，所以，得，

此时直线的方程为

综上所述，直线方程为或

（2）因为弦长为，所以圆心到直线的距离为，

此时直线的斜率一定存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离，

由，得，

所以

当时，直线的一般方程为；

当时，直线的一般方程为