题目内容

已知f（x）=3mx2-2（m+n）x+n（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1-x2|的取值范围为（　　）
A、[
3
3
，
2
3
)
B、[
1
3
，
4
9
)
C、[
1
3
，
3
3
)
D、[
1
9
，
1
3
)
分析：由f（0）•f（1）＞0可求出m和n的不等关系，x1，x2是方程f（x）=0的两根，由维达定理可表示出x1+x2和x1•x2，而|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2，可表示为m和n的关系式，求范围即可．
解答：解：由f（0）•f（1）＞0可得n（m-n）＞0，不等式两边同除以m2，则
n
m
-(
n
m
)2＞0，即0＜
n
m
＜1．
维达定理x1+x2=
2(m+n)
3m
和x1•x2=
n
3m
，
所以|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2=
4(m2+n2+mn) 
9m2
=
4
9
((
n
m
)2+
n
m
+1)
因为0＜
n
m
＜1，所以
1
3
≤|x1-x2|2＜
4
9
，所以
3
3
＜|x1-x2|＜
2
3

故选A
点评：本题考查二次方程的根和系数的关系、二次函数的范围问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数f(x)=x2+
a
x2
（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．
已知函数f（x）=3mx-4，若在[-2，0]上存在x0，使f（x0）=0，则m的取值范围是
（-∞，-
2
3
]
（-∞，-
2
3
]
．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数，
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数f(x)=x2+
a
x2
（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．
已知f(x)=x3-3x2-3mx+4(其中m为常数)有极大值为5.

(1)求m的值；

(2)求曲线y=f(x)过原点的切线方程.

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