Question

已知f(x)=x³-3x²-3mx+4(其中m为常数)有极大值为5.

(1)求m的值；

(2)求曲线y=f(x)过原点的切线方程.

Answer 1

解:（1）∵f(x)=x³-3x²-3mx+4,

∴f′(x)=3x²-6x-3m.

令3x²-6x-3m=0,则Δ=36(m+1).

①当Δ≤-1时，函数f(x)无极值.

②当Δ＞0,即m＞-1时，f′(x)=0有相异两实根，设两根为α,β（α＜β）,

f′(x)=3(x-α)(x-β),其中α=1-,β=1+(m＞-1).

当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下：

X	(-∞,α)	α	(α,β)	β	(β,+β)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	极大	?	极小	?

∴x=1-时，f（x）取极大值，并且f(1-)

=(1-)³-3(+1)²-3m(+1)+4

=2(m+1)-3m+2.

由2(m+1)=3(m+1),4(m+1)=9,m=.

∴当m=时，y=f(x)取得极大值5.

（2）曲线过点（x₁,x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切线斜率为3(x₁²-2x₁-m),切线方程为：

y=3(x₁²-2x₁-m)(x-x₁)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4,切线过原点（0,0）,所以-3x₁（x₁²-2x₁-m）+x²₁-3mx₁+4=0，3x₁³+x₁+2＞0,

∴x₁=2，代入切线方程得y=-3mx.

对于m=的那条曲线，切线为y=x.