题目内容

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为 $数学公式$ ，乙获胜的概率为 $数学公式$ ．现已赛完两局，乙暂时以2：0领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

解（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，
由此得甲获得这次比赛胜利的概率为 $\text{[math]}$ +C₄³× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
甲获得这次比赛胜利的概率 $\text{[math]}$ ．
（2）随机变量ξ的所有可能取值为4，5，6，7
随机变量ξ的分布列为
P（ξ=4）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=5）= $\text{[math]}$ ，
P（ ξ=6）= $\text{[math]}$
P（ξ=7）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴随机变量ξ的数学期望为E（ξ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，分别计算出这两个事件的概率，求其和．
（2）设比赛结束时比赛的局数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题的关键是正确理解两个事件、“甲获得这次比赛胜利”，再由概率的计算公式计算出概率．本题是概率中的有一定综合性的题，对事件正确理解与分类是很关键．