Question

甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制（先胜四局者获胜）．若每一局比赛甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜的概率为

1

3

．现已赛完两局，乙暂时以2：0领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的总局数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，分别计算出这两个事件的概率，求其和．
（2）设比赛结束时比赛的局数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

解答：解（1）甲获得这次比赛胜利情况有二，一是比赛六局结束，甲连续赢了四局，一是比赛了七局，甲在后五局中赢了四局，且最后一局是甲赢，
由此得甲获得这次比赛胜利的概率为 (

2

3

)4+C₄³×(

2

3

)3×

1

3

=

16

81

+

32

81

=

48

81

=

16

27

甲获得这次比赛胜利的概率

16

27

．
（2）随机变量ξ的所有可能取值为4，5，6，7
随机变量ξ的分布列为
P（ξ=4）=(

1

3

)2=

1

9

，
P（ξ=5）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

，
P（ ξ=6）=(

2

3

)4

+C

1 3

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

28

81

 
P（ξ=7）=

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3•

1

3

+

C

3 4

(

2

3

)3•

1

3

•

2

3

=

32

81

．
∴随机变量ξ的数学期望为E（ξ）=4×

1

9

+5×

4

27

+6×

28

81

+7×

32

81

=

488

81

．

点评：本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题的关键是正确理解两个事件、“甲获得这次比赛胜利”，再由概率的计算公式计算出概率．本题是概率中的有一定综合性的题，对事件正确理解与分类是很关键．