Question

（2013•辽宁一模）.经过原点（0，0）做函数f（x）=x³+3x²的切线，则切线方程为

y=0或9x+4y=0

．

Answer 1

分析：分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．

解答：解：∵f^′（x）=3x²+6x，
①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f^′（0）=0，则切线方程为y=0；
②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x₀，y₀），
则切线的斜率为f′(x0)=3

x

2 0

+6x0，因此切线方程为y-(

x

3 0

+3

x

2 0

)=(3

x

2 0

+6x0)(x-x0)，
因为切线经过原点（0，0），∴-(3

x

2 0

+

x

3 0

)=-x0(3

x

2 0

+6x0)，∵x₀≠0，解得x0=-

3

2

．
∴切线方程为y=-

9

4

x，化为9x+4y=0．
∴切线方程为y=0或9x+4y=0．
故答案为y=0或9x+4y=0．

点评：熟练掌握导数的几何意义和切线方程是解题的关键．