题目内容
（2013•辽宁一模）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若
+
=2m
，则m=
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AO |
sinθ
sinθ
．（用θ表示）分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得
=
+
，代入已知的等式中，连接OD，可得
⊥
，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以
，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m．
| AO |
| AD |
| DO |
| AD |
| AB |
| AB |
解答：解：取AB中点D，则有
=
+
，
代入
+
=2m
得：
+
=2m(
+
)，
由
⊥
，得
•
=0，
∴两边同乘
，化简得：
•
+
•
=2m(
+
)•
=m
•
，
即
c2+
bc•cosA=mc2，
由正弦定理
=
=
化简得：
sin2C+
sinBsinCcosA=msin2C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
=
=
=sinA，
又∠A=θ，
则m=sinθ．
故答案为：sinθ
| AO |
| AD |
| DO |
代入
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AO |
| cosB |
| sinC |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AD |
| DO |
由
| OD |
| AB |
| DO |
| AB |
∴两边同乘
| AB |
| cosB |
| sinC |
| AB |
| AB |
| cosC |
| sinB |
| AC |
| AB |
| AD |
| DO |
| AB |
| AB |
| AB |
即
| cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinB |
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=
| cosB+cosAcosC |
| sinC |
| -cos(A+C)+cosAcosC |
| sinC |
=
| -cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC |
| sinC |
又∠A=θ，
则m=sinθ．
故答案为：sinθ
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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