Question

【题目】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据条件判断函数的对称性和周期性，再求出函数在一个周期内的解析式；要求的零点问题，可令，得，然后在同一个坐标系中画出和的图像，通过观察图像，列式求解得的取值范围．

因为是定义在上的奇函数，所以的对称中心是点，

因为为偶函数，所以的对称轴是，所以的对称轴是，

所以的周期，

且也是的对称轴，

因为是定义在上的奇函数，时，，

所以时，

因为有三个零点，

所以令，得，

即和的图像有三个不同的交点，

因为在一个周期内，

当直线与在内相切时，令，

得，，

所以，得，

此时，在处得，

即直线与在内没有交点，在内有两个交点，

所以要使和的图像有三个不同的交点，需，

当直线与在内相切时，令，

得，，

所以，得，

此时，在处得，

即直线与在内没有交点，在内有两个交点，

所以要使和的图像有三个不同的交点，需，

综上，

所以，由周期性得.