Question

如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：平面；
（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）用线面垂直证，用等腰三角形中线即为高线证即，根据线面垂直得判定定理即可得证。（2）由（1）知平面，则为与平面所成的角。因为为定值，所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析：解：方法一：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，
所以                                1分
又，因此                       2分
因为平面，平面，
所以                         3分
而平面，平面，
所以平面  .              5分
（2）为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角                    6分
在中，，
所以当最短时，即当时，最大 .              7分
此时，     因此
又，所以，
所以               8分
因为平面，平面，
所以平面平面
过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角，  10分
在中， 
又是的中点，在中，
又               11分
在中，
即所求二面角的余弦值为。                                  13分
第二问：方法二
（2）由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。 
设,则
（其中）                                6分

面的法向量为

与平面所成最大角的正切值为               7分
的最大值为，
即在的最小值为，
函数对称轴，
所以，计算可得                  9分
所以
设平面的一个法向量为，则
因此，取，则             11分
为平面的一个法向量.                      12分
所以
所以，所求二面角的余弦值为                               13分