Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，若在椭圆上存在点P，使得当PQ⊥l于点Q时，四边形PQF₁F₂为平行四边形，则此椭圆的离心率e的取值范围是

（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：PQF₁F₂为平行四边形对边相等．推出PQ=F₁F₂=2C．设P（x₁，y₁）． P在X负半轴，利用P的横坐标的范围，得到关系式，即可得到椭圆离心率的范围．

解答：解：因为PQF₁F₂为平行四边形，对边相等．所以，PQ=F₁F₂，所以PQ=2C．
设P（x₁，y₁）． P在X负半轴，
-x₁=

a2

c

-2c＜a，
所以2c²+ac-a²＞0，
即2e²+e-1＞0，
解得e＞

1

2

，
因为椭圆e取值范围是（0，1），
所以此题答案为（

1

2

，1）．
故答案为：（

1

2

，1）．

点评：本题是中档题，考查椭圆的基本性质，找出P的横坐标与椭圆长半轴的关系是解题的关键，考查计算能力，转化思想．