Question

（2012•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b²=3ac，则角A的大小为

π

12

或

7π

12

．

Answer 1

分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b²=3ac，即sin²B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A-C）=0，得A-C=±90°，
由此可得A的大小．

解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°-（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b²=3ac，故 sin²B=3sinAsinC，∴

3

4

=3sinAsinC=3×

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]=

3

2

（cos（A-C）+

1

2

），
解得 cos（A-C）=0，故A-C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=

π

12

，或A=

7π

12

．
故答案为A=

π

12

，或A=

7π

12

点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．