Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁上的动点，F为棱BC的中点．
（1）求证：直线AE⊥DA₁
（2）求直线DF与平面A₁B₁CD所成角的正弦值
（3）若E为C₁D₁的中点，在线段AA₁求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．

Answer 1

【答案】分析：（1）线线垂直A₁D⊥D₁A，D₁A⊥D₁E，得线面垂直A₁D⊥平面D₁AE，从而又得线线垂直AE?平面D₁AE，所以A₁D⊥AE
（2）一作：取CC₁的中点M，连接FM交CB₁与O，二证：因为C₁B⊥B₁C，C₁B⊥CD，所以C₁B⊥平面A₁B₁CD，因为FM∥C₁B，所以
FM⊥平面A₁B₁CD．所以∠FDO就是直线DF与平面A₁B₁CD所成角，三计算：在三角形FDO中，sin∠FDO===．
（3）由AE⊥DA₁，还可由DF⊥平面AHE，证DF⊥AE，所以AE⊥平面DFA₁，故A₁点即为所求的点G，然后将探索题改为证明题来做即可
解答：证明：（1）∵A₁D⊥D₁A，D₁A⊥D₁E，∴A₁D⊥平面D₁AE，∵AE?平面D₁AE，∴A₁D⊥AE
解：（2）设正方体的棱长为2，取CC₁的中点M，连接FM交CB₁与O，则FO=
∵C₁B⊥B₁C，C₁B⊥CD∴C₁B⊥平面A₁B₁CD，∵FM∥C₁B，∴FM⊥平面A₁B₁CD
∴∠FDO就是直线DF与平面A₁B₁CD所成角
在三角形FDO中，sin∠FDO===
（3）存在，G点即为A₁点，由（1）可证得AE⊥DA₁，取CD的中点H，由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE
∵DFA₁D=D，∴AE⊥平面DFG
点评：本题考察了空间线线垂直，线面垂直的证明方法，空间直线与平面所成角的作法和算法，解题时要认真体会将空间问题转化为平面问题的思想方法