Question

一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是3cm，母线长是5cm，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的表面积是

 

．

Answer 1

分析：如图所示，作出圆锥的轴截面△SAB，可得题中球的半径恰好为△SAB的内切圆半径．因此根据三角形的面积公式算出球的半径r=

3

2

cm，再利用球的表面积公式即可算出球的表面积．

解答：解：设圆锥底面圆的圆心为O，连结SO，作出圆锥的轴截面△SAB．
则SA=SB=5cm，AB=2×3=6cm．
∵Rt△SOA中，OS=

SA2-OA2

=4cm，
∴△SAB的面积S_△SAB=

1

2

AB×OS=12cm²，
设圆锥的内切球半径为r，则球大圆是△SAB的内切圆，
可得S_△SAB=

1

2

（SA+SB+AB）×r=12，
即

1

2

（5+5+6）×r=12，解之得r=

3

2

cm，
∴圆锥内切球的表面积S=4πr²=4π×(

3

2

)2=9πcm²．
故答案为：9πcm²

点评：本题求给定圆锥的内切球的表面积，着重考查了圆锥的轴截面、三角形的内切圆半径求法和球的表面积公式等知识，属于中档题．