Question

如图，已知空间四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：CO⊥AO；
（2）求证：AO⊥平面BCD；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段DO上确定一点F，使得GF∥平面AOC．

Answer 1

分析：（1）在△AOC中，可得AO=1，CO=

3

，利用勾股定理，可得AO⊥OC；
（2）根据AO⊥OC，AO⊥BD，，利用线面垂直的判定，可得AO⊥平面BCD；
（3）连接DG并延长交AC于H，则

DG

DH

=

1

3

，在DO上取点F，使

DF

DO

=

1

3

，连接FG、OH，则可得FG∥OH，利用线面平行的判定，可得GF∥平面AOC．

解答：（1）证明：∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．…（5分）
（2）证明：∵AO⊥OC，AO⊥BD，BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD…（8分）
（3）解：连接DG并延长交AC于H，则

DG

DH

=

1

3

，在DO上取点F，使

DF

DO

=

1

3

，连接FG、OH
∵

DG

DH

=

DF

DO

，∴FG∥OH
∵OH?平面AOC，FG?平面AOC
∴GF∥平面AOC…（14分）

点评：本题考查空间线面位置关系，考查线面垂直，考查线面平行，掌握线面垂直、平行的判定是关键．