Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推公式可把已知转化为a_n+1=4a_n-2a_n-1，从而有，从而可得数列{b_n}为等比数列
（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，要证数列{c_n}为等差数列?为常数，把已知代入即可
（3）由（2）可求a_n=（3n-4）•2^n-2，代入s_n+1=4a_n+2可求s_n+1，进而求出s_n
解答：解：（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即：且b₁=a₂-2a₁=3
∴{b_n}是等比数列
（2）{b_n}的通项b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1
∴
又
∴{C_n}为等差数列
（3）∵C_n=C₁+（n-1）•d
∴
∴a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）
S_n+1=4•a_n+2=4•（3n-1）•2^n-2+2=（3n-1）•2ⁿ+2
∴S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）
点评：本题主要考查了利用递推公式转化“和”与“项”进而求数列的通项公式，采用构造证明等差（等比数列）也是数列中的重点，要注意掌握运用．