Question

【题目】已知椭圆C： 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为 .
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点B（0，m）（m>0）的直线 与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（I）由题意，得： 又因为
解得 ，所以椭圆C的方程为 .
（II）当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为x=0，
此时E，F为椭圆的上下顶点，且 ，
因为点 总在以线段 为直径的圆内，且 ，
所以 ，故点B在椭圆内.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 .
由方程组 得 ，
因为点B在椭圆内，
所以直线 与椭圆C有两个公共点，即 .
设 ，则 .
设EF的中点 ，则 ，
所以 .所以 ，
，
因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以 对于 恒成立.
所以 .
化简，得 ，整理，得 ，
而 （当且仅当k=0时等号成立）所以 ，
由m>0，得 .综上，m的取值范围是 .
【解析】(1)由条件列出关于a,b,c的方程组求a,b,c得到椭圆的方程;
(2)先讨论直线的存在时,由点B关于原点的对称点为D总在以线段EF为直径的圆内,求出m的范围;再讨论当直线斜率存在时,设出直线的方程,代入到椭圆方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由韦达定理求出EF的中点坐标,当点D在以EF为直径的圆内时,由圆的性质得到关于m与k的不等式,求m的范围.
【考点精析】通过灵活运用点与圆的位置关系和椭圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系有三种：若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．