对满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$的任意实数x.y.则z=x2+y2-4x的最小值是-2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．对满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$的任意实数x，y，则z=x²+y²-4x的最小值是-2．

分析作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．

解答解：z=x²+y²-4x=（x-2）²+y²-4
设m=（x-2）²+y²，则m的几何意义为区域内的点到点（2，0）的距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知，
D到直线x-y=0的距离最小，此时d=$\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
则m=d²=2，则z的最小值为z=2-4=-2，
故答案为：-2

点评本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离公式的计算，利用数形结合是解决本题的关键．

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