题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且
，M是PB的中点．（1）求证：MC∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求三棱锥P-ACM的体积．
【答案】分析：（1）取PA中点Q，可证四边形QMCD为平行四边形，可得MC∥DQ，从而证明MC∥平面PAD．
（2）利用勾股定理证明BC⊥AC，由线面垂直的性质可得PA⊥BC，故BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，可证CN⊥平面PAB，求
的值，利用
求得结果．
解答：解：
（1）取PA中点Q，连MQ、DQ，
则MQ∥DC，MQ=DC，∴四边形QMCD为平行四边形，∴MC∥DQ，
又DQ?平面PAD，MC?平面PAD，∴MC∥平面PAD．
（2）由已知可得
，
∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，连接CN，则CN∥AD，∴CN⊥平面PAB，
∵
，
∴
．
点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，取PA中点Q，是解题的突破口．
（2）利用勾股定理证明BC⊥AC，由线面垂直的性质可得PA⊥BC，故BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，可证CN⊥平面PAB，求
的值，利用
求得结果．解答：解：
（1）取PA中点Q，连MQ、DQ，则MQ∥DC，MQ=DC，∴四边形QMCD为平行四边形，∴MC∥DQ，
又DQ?平面PAD，MC?平面PAD，∴MC∥平面PAD．
（2）由已知可得
，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，连接CN，则CN∥AD，∴CN⊥平面PAB，
∵
，∴
．点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，取PA中点Q，是解题的突破口．
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