Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若正实数满足，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用导数的几何意义求解；（2）先将不等式进行转化，再构造函数运用导数进行求解；（3）先将问题进行等价转化再构造函数运用导数知识求解：

（1）因为， ， ，

所以切线方程为，即.

（2）令，

所以 ，

当时，因为，所以，所以是上的递增函数，

又因为，所以关于的不等式不能恒成立.

当时， ，

令，得，所以当时， ；当时， ，

因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为.

令，

则在上是减函数，

因为， ，

所以当时， ，所以整数的最小值为2．

（3）由，得

，

从而，

令，则由，得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，又，

因此成立.