Question

【题目】如图，锐角的三边互不相等，其垂心为，是边的中点，直线，的外接圆交的外接圆于，直线与的外接圆、的外接圆分别交于证明：

（1）平分；

（2）三线共点。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)如图，联结.因四点共圆，其圆心为，则.

联结.

由和分别四点共圆，得，

.相加得.

故四点共圆.

又因四点共圆，即有五点共圆，此圆直径为，设圆心为.所以，，即三点共线.

由，即，故为的外接圆直径.从而，.

由，知为的外接圆直径.进而，，∥∥.

因直径过的中点，故垂直且平分弦.

同理，的外接圆直径.

又，则∥，∥.

于是，∽.所以，.①

由∥，得∽.所以，.②

①×②，且，有.

所以，∽.

故平分.平分；

(2)为证三线共点，只要证皆过点.

由于的圆心角，

所以，∥.因此，三点共线.

同理，三点共线.

因此，三线共点.