Question

18．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，且f（1）=2，则函数f（x）的最大值为（　　）

• A． $\frac{{e}^{3}}{2}$
• B． $\frac{e}{2}$
• C． $\sqrt{e}$
• D． 2e

Answer 1

分析 由xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，变形为（x²f（x））′=（lnx）′，可得f（x）=$\frac{lnx+C}{{x}^{2}}$，由于f（1）=2，可得C=2．f（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，（x＞0）．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，变形为（x²f（x））′=（lnx）′，
∴f（x）=$\frac{lnx+C}{{x}^{2}}$，
∵f（1）=2，∴C=2．
∴f（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，（x＞0）．
f′（x）=$-\frac{2（lnx+\frac{3}{2}）}{{x}^{3}}$，
当x＞${e}^{-\frac{3}{2}}$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜${e}^{-\frac{3}{2}}$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=${e}^{-\frac{3}{2}}$时，函数f（x）取得最大值为f（${e}^{-\frac{3}{2}}$）=$\frac{{e}^{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．