Question

7．已知f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，存在x₁∈[-1，0]，对于任意x₂≥$\frac{1}{2}$，使不等式g（x₁）≤f（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 存在x₁∈[-1，0]，对于任意x₂≥$\frac{1}{2}$，使不等式g（x）≤f（x₂）成立，故f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax在x₂≥$\frac{1}{2}$时的最小值A，与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在[-1，0]时的最小值B满足；B≤A，求出两个函数的最小值，可得答案．

解答 解：∵存在x₁∈[-1，0]，对于任意x₂≥$\frac{1}{2}$，使不等式g（x）≤f（x₂）成立，
故f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax在x₂≥$\frac{1}{2}$时的最小值A，与g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在[-1，0]时的最小值B满足；
B≤A，
∵g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x在[-1，0]上为减函数，故B=（$\frac{1}{2}$）⁰=1，
即f（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax≥1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
则h′（x）=$\frac{{2xe}^{x}-2{e}^{x}+2-{x}^{2}}{2{x}^{2}}$，
令v（x）=2xe^x-2e^x+2-x²，
则v′（x）=2x（e^x-1），
当x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）时，v′（x）＞0恒成立，
故v（x）=2xe^x-2e^x+2-x²在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
故v（x）≥v（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$-$\sqrt{e}$＞0恒成立，
故h（x）=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
故h（x）≥h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{8\sqrt{e}-9}{4}$，
∴a≤$\frac{8\sqrt{e}-9}{4}$

点评 本题考查的知识点是特称命题，其中将已知转化为两个函数最小值的关系，是解答的关键．