Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|，
(Ⅰ)证明：a=b；
(Ⅱ)设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由题设及，
不妨设点A（c，y），其中y＞0，
由于点A在椭圆上，有，即，
解得从而得到，
直线的方程为，整理得，
由题设，原点O到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即a=b。
 （Ⅱ）解：设点D的坐标为，
当时，由知，直线的斜率为，
所以直线的方程为，或y=kx+m，其中，
点的坐标满足方程组，
将①式代入②式，得，
整理得，，
于是，　　③
由①式得
，　　　④
由知，
将③式和④式代入得，，
将代入上式，整理得，
当时，直线的方程为，
点的坐标满足方程组，
所以，
由知，即，
解得，
这时，点D的坐标仍满足；
综上，点D的轨迹方程为。