Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+x）（sin（$\frac{3π}{2}$+x）-cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若θ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{10}$，求sin（2θ-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期．
（2）利用函数的关系式，进一步通过恒等变换，求出$cosθ=\frac{4}{5}$，$sinθ=-\frac{3}{5}$最后求出结果．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π+x）（sin（$\frac{3π}{2}$+x）-cos²x
=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{cos2x+1}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由（1）得$f（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）$=$sin[2（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]-\frac{1}{2}$=cosθ-$\frac{1}{2}$，
由$cosθ-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$，得$cosθ=\frac{4}{5}$．
因为θ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，所以$sinθ=-\frac{3}{5}$，
所以：$sin2θ=2sinθcosθ=-\frac{24}{25}$，$cos2θ=2{cos}^{2}θ-1=\frac{7}{25}$，

所以：$sin（2θ-\frac{π}{4}）$=$sin2θcos\frac{π}{4}-cos2θsin\frac{π}{4}$
=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的应用，利用函数的关系式求函数的值，主要考查学生的应用能力．