Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，若将其图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（　　）

• A． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称
• B． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• C． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• D． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称

Answer 1

分析 根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期是π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x）=sin（2x+φ），
将其图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到y=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+φ-$\frac{2π}{3}$），
若此时函数关于原点对称，
则φ-$\frac{2π}{3}$=kπ，即φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=-1时，φ=$-\frac{π}{3}$．
即f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
由2x$-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
解得x=$\frac{5π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
故当k=0时，函数的对称轴为x=$\frac{5π}{12}$，
故选：B

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．