题目内容
已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则
的取值范围是
| X | -2 | 0 | 4 |
| f（x） | 1 | -1 | 1 |
- A.
- B.
- C.
- D.
A
分析：由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围．
解答：
解：由导函数的图形知，
x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∵f（2a+b）＜1
∴-2＜2a+b＜4
∵a＞0，b＞0
∴a，b满足的可行域为
表示点（a，b）与（-3，-3）连线的斜率的2倍
由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大
所以的取值范围为
故选A
点评：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．
分析：由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围．
解答：
解：由导函数的图形知，x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∵f（2a+b）＜1
∴-2＜2a+b＜4
∵a＞0，b＞0
∴a，b满足的可行域为
表示点（a，b）与（-3，-3）连线的斜率的2倍由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大
所以
的取值范围为故选A
点评：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．
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