Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与C相交于A、B两点，△F₁AB的周长为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由离心率为得a=c，由△F₁AB周长为4可求得a值，进而求得b值；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形PAPB为平行四边形，∴=+，根据韦达定理可把P点坐标用k表示出来，再代入椭圆方程即可求得k值；
解答：解：（I）∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，
又△F₁AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，
∴椭圆C的标准方程为：；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，
∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，∴x₁+x₂=-2k=，
故y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-2k=，
∵四边形PAPB为平行四边形，∴=+，
从而，，
又P（x，y）在椭圆上，∴，
整理得：，12k⁴+8k²=4+12k²+9k⁴，3k⁴-4k²-4=0，解得k=±，
故所求直线l的方程为：y=±（x-1）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．