Question

10．已知数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n（n∈N^*），试求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．可得：2（a₂+1）=a₁+a₃．解得a₁．利用等比数列的通项公式即可得出a_n．
（II）b_n=log₂a_n=n，可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃．
∴4a₁+2=a₁+4a₁，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=log₂a_n=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．