Question

【题目】设,函数.

（1）证明在上仅有一个零点；

（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:

Answer 1

【答案】（1） 在 上有且只有一个零点 （2）证明见解析

【解析】试题分析：

（1）证明函数单调，再应用零点存在性定理证明只有一个零点；（2）利用处的切线与轴平行，解得，再利用处的切线与直线平行，解得，观察证明结论，可知，所以令，通过求导最后解得，则，得证。

试题解析：

（1）， ，

在上为增函数．

， ，

又，

，即，

由零点存在性定理可知， 在上为增函数，且，

在上仅有一个零点。

（2），设点，则，

在点处的切线与轴平行， ， ，

， ，

点处切线与直线平行，

点处切线的斜率，

又题目需证明，即，

则只需证明，即。

令，则，

易知，当时， ，单调递减，

当时， ，单调递增，

，即，

，

，得证。