题目内容

已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），设函数f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，求k的取值范围．
（Ⅰ）∵函数f（x）=
m
•
n
=2cos2x-
3
sin2x=cos2x-
3
sin2x+1=2sin（
π
6
-2x）+1=-2sin（2x-
π
6
）+1，
∴函数的最小正周期为
2π
2
=π，令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，解得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈z．
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，则函数y=f（x）的图象和直线y=k 在区间[0，
π
2
]上有交点．
由 0≤x≤
π
2
 可得-
π
6
≤2x-
π
6
≤
5π
6
，∴-
1
2
≤sin（2x-
π
6
）≤1，∴-1≤-2sin（2x-
π
6
）+1≤2，
即函数f（x）的值域为[-1，2]，
故-1≤k≤2，即k的取值范围为[-1，2]．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），设函数f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，求k的取值范围．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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