题目内容

已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式化简f（x）=2sin（2x+
π
6
）+2011，
由  2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，且 x≠kπ，x≠kπ+
π
2
，k∈z，求得减区间．
（2）由f（A）=2012，求得 A，根据△ABC的面积求出c，由余弦定理求出 a，据
1005(a+c)
sinA+sinC
=
1005a
sinA
 求值．
解答：解：（1）函数f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
=2cos2x+
3
sin2x+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
 
=1+cos2x+
3
sin2x+2010=2sin（2x+
π
6
）+2011．
由  2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，且 x≠kπ，x≠kπ+
π
2
，k∈z，得 kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，且x≠kπ+
π
2
，
∴单调减区间为 （kπ+
π
6
，kπ+
π
2
）∪（kπ+
π
2
，kπ+
2π
3
）．
（2）f（A）=2012=2sin（2A+
π
6
）+2011，∴sin（2A+
π
6
）=
1
2
，∴A=
π
3
．
又△ABC的面积为
3
2
=
1
2
 bcsinA=
1
2
•1•c•
3
2
，∴c=2．
∴a=
b2+c2-2bc•cosA
=
3
，∴
1005(a+c)
sinA+sinC
=
1005a
sinA
=
1005×
3
3
2
=2010．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，余弦定理的应用，求单调减区间是
解题的难点．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），设函数f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，
π
2
]上有实数根，求k的取值范围．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且满足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）设△ABC的内角A满足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求边BC的最小值．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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